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Neu: edition swk
Fouriertransformation, Fourierreihen, Faltung, lineare Systeme, Impulsantwort, DFT, DCT, Signalverarbeitung, Partielle Differentialgleichungen    

Eine Einführung mit Anwendungen

Nachfolgend finden Sie bei Interesse Leseproben aus dem genannten Buch
zur Fourieranalysis und ihren Anwendungen
    Zu Fourierreihen von periodischen Funktionen

    Der Abschnitt gibt eine Einführung mit Sätzen über die Darstellbarkeit von periodischen Funktionen durch ihre Fourierreihen und Effekte wie das Gibbs-Phänomen oder Glättung durch Fensterfunktionen wie im Satz von Fejer. Die Diskussion ist in diesem Anfangskapitel auf stückweise stetig differenzierbare periodische Funktionen beschränkt und behandelt punktweise und gleichmäßige Konvergenz und Konvergenz im quadratischen Mittel. Fourierreihen-Darstellungen werden später allgemeiner auch für periodische Distributionen erarbeitet. Erste Anwendungen sind Lösungen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten für periodische Anregungen, der Approximationssatz von Weierstraß, das 1/f-Theorem von Wiener, die Behandlung von schwingenden Saiten, Wärmeleitungsproblemen u.a.m.

    Zur diskreten Fouriertransformation, Signal-Analyse und Signalverarbeitung

    Der Abschnitt behandelt die diskrete Fouriertransformation DFT (FFT), die Inverse IDFT, die diskrete Cosinus-Transformation in den Varianten DCT I und DCT II, Alias-Effekte, trigonometrische Interpolation und Approximation, numerische Integration nach Clenshaw-Curtis, Tschebyscheff-Polynome (Chebyshev-Polynome) und Anwendungsbeispiele wie diskrete lineare Filter, JPEG oder digitale Wasserzeichen. Der in Anwendungen der DFT oft empfehlenswerte Einsatz von Zeitfenstern zur Verbesserung der Frequenzauflösung wird in einem gesonderten Abschnitt diskutiert.

    Erste Schritte in die Theorie der Distributionen

    Die Dirac-Distribution, auch Dirac-Impuls genannt, wird an einem konkreten Schaltungsbeispiel der Elektrotechnik eingeführt. Davon ausgehend werden Grundlagen der Distributionentheorie mit den notwendigen Stetigkeits- und Konvergenzbegriffen entwickelt und typische Beispiele regulärer und auch singulärer verallgemeinerter Funktionen wie Pseudofunktionen (z.B. rationale Funktionen als Distributionen) und Impulsfolgen untersucht.

    Anwendungsbeispiele von Distributionen

    Der Abschnitt behandelt periodische Distributionen, m.a.W. verallgemeinerte Fourierreihen mit Anwendungen, das Grundlösungsverfahren für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, räumliche Potentialprobleme und die Grundidee der Finiten Elemente mit konkreten Anwendungsbeispielen.

    Zur Fouriertransformation

    Es werden die für zahlreiche Anwendungen erforderlichen Grundlagen und Transformationsregeln der Fouriertransformation von Funktionen und temperierten Distributionen mit den dazugehörigen mathematischen Voraussetzungen entwickelt. Insbesondere werden Fouriertransformationen von Faltungen in der für die behandelten Beispiele notwendigen Allgemeinheit dargelegt. Daran ist zu erkennen, wann das Faltungstheorem für Fouriertransformationen gilt und wann dies nicht der Fall ist. Beispiele für die analoge und diskrete Signalverarbeitung sind etwa Transformationen rationaler Funktionen und von Impulsfolgen und ihren Faltungen, sofern diese existieren.

    Grundbegriffe der Linearen Systemtheorie und Signalverarbeitung: Lineare Filter

    In diesem Kapitel zur linearen System- und Signaltheorie wird dargelegt, welche zeitinvarianten linearen, analogen oder diskreten Systeme Faltungsdarstellungen haben und durch ihre Impulsantwort beschrieben werden können. Insbesondere werden Beispiele für lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) angegeben, die nicht durch Faltung mit der Impulsantwort charakterisiert werden können - entgegen einem weit verbreiteten Credo in der Ing.-Literatur.

    Für stetige Faltungssysteme werden die Begriffe des Frequenzgangs, im diskreten Fall mit der z-Transformation auch die Übertragungsfunktion erarbeitet und exemplarisch auf Probleme des Filterentwurfs und seiner Realisierung (FIR-Filter, IIR-Filter, z.B. mit Hilfe der bilinearen Transformation, Butterworth- und Tschebyscheff-Tiefpassfilter) angewendet. Der Distributionen-Kalkül gestattet dabei eine kurze und einheitliche Darstellung analoger und diskreter linearer Filter.

    In Folgeabschnitten werden das Abtasttheorem (Sampling Theorem) von Shannon, Fenstertechniken bei der DFT und Grundprinzipien der Zeit-Frequenz-Analyse mit der gefensterten Fouriertransformation und mit Wavelets besprochen. Ein grundlegender Aspekt der Signalverarbeitung ist dabei stets die Heisenbergsche Unschärferelation für das Zeitdauer-Bandbreiten-Produkt.

    Anwendung der Fouriertransformation auf Partielle Differentialgleichungen

    Behandelt werden Anfangswertprobleme für die Wellen- und die Wärmeleitungsgleichung. Für das berühmte Theorem von Malgrange-Ehrenpreis über die Existenz von Fundamentallösungen für partielle lineare Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten wird ein elementarer Beweis, beruhend auf einer Arbeit von P. Wagner 2009, vorgestellt. Diesen Abschnitt können Sie bei Interesse auch ausdrucken.

 

Entwickelt von Christian Schönhuth