Fourier-Analysis mit Mathematica

Mathematica Notebooks, Beispiele zur Fourier Analysis, Rolf Brigola

Begleitmaterial zur Mathematik in Ingenieur-Studiengängen

Hier finden Sie Links auf Mathematica-Notebooks, die Sie direkt als Anwendungen öffnen können,
wenn Sie Mathematica auf Ihrem Rechner haben.
Sollte dies nicht der Fall sein, dann können Sie die
angezeigten pdf-Files, die aus den Notebooks erzeugt sind, anwählen.
Alle Notebooks sind getestet mit Mathematica 12.1.

Diese Seite ist Beispielen von Fourierreihen gewidmet. Beispiele zur Fouriertransformation, zu
Distributionen (verallgemeinerten Funktionen), zur linearen Systemtheorie und anderem Material
finden Sie oben über das Untermenu zu dieser Seite.

Fourier-Analysis mit Mathematica

Das Material der folgenden Notebooks zum Thema Fourieranalysis bezieht sich durchgehend
auf das Lehrbuch des Autors dieser Website:
Fourier-Analysis und Distributionen, Eine Einführung mit Anwendungen

Bei Interesse können Sie das ganze Buch zur Ansicht downloaden —
hier Download zur Ansicht direkt vom Autor

Als Autor würde ich mich natürlich freuen, wenn Sie das Buch Ihrer Bibliothek
als Beschaffungsvorschlag empfehlen oder es selbst erwerben würden.

Nun also zu den ersten Notebooks über Fourierreihen, DFT, DCT, zur Distributionentheorie und Fouriertransformation.
Dabei sei angemerkt, dass es mir mit dem Material weniger auf einen kunstvollen Umgang
mit Mathematica ankommt – dessen Feinheiten und Möglichkeiten sich mir bei der Arbeit damit auch immer erst
allmählich erschließen – sondern dass mir die in den Notebooks vorgestellten mathematischen Inhalte weit wichtiger sind.

Bei der immensen Vielfalt an Problemen, an die man mit der Fourier-Analysis herangehen kann, und der inzwischen
unüberschaubaren Anzahl von Software-Tools, die insbesondere für diskretisierte Probleme entwickelt wurden,
kann man in der immer nur sehr kurzen Zeit, die zum Lehren und Lernen in heutigen Studien-Curricula verfügbar ist,
m.E. nur versuchen, die unerlässlichen theoretischen Grundprinzipien und eine unterstützende Auswahl von
Anwendungsbeispielen so gut wie möglich zu verstehen. Darauf aufbauend besteht dann die Chance, sich auf ausgewählte
Themen professionell zu spezialisieren, die dem Interesse entspringen oder der Notwendigkeit, sein Brot zu verdienen.
Ich hoffe daher, dass Besucher dieser Webseite aus den vorliegenden Notebooks vor allem für ihr Theorieverständnis
einen Nutzen ziehen und ganz nebenbei einen (begrenzten) Umgang mit Mathematica gewinnen können.

  1. Ein Erstkontakt mit Fourierreihen mit Hilfe von Mathematica, als Notebook und als pdf.
    Einige zugehörige Mathematica-Befehle, Beispiele zu den Eigenschaften von Fourierreihen.
  2. Grafische Darstellungen trigonometrischer Polynome mit Hilfe von Mathematica, als Notebook
    und als pdf.
  3. Erste Anwendungsbeispiele von Fourierreihen mit Mathematica, als Notebook und als pdf.
    Erzwungene Schwingungen beim Federpendel mit Dämpfung bei periodischer Zwangskraft,
    Lösungen zur Wärmeleitung in einem Stab, die man mit Fourierreihen berechnen kann
    (Anfangsrandwertaufgaben für die Wärmeleitungsgleichung mit Dirichletschen und mit
    Neumannschen Randbedingungen).
    Diese Beispiele und die Methoden zu Ihrer Lösung sind schon richtungweisend für viele
    andere Anwendungen von Fourierreihen in der Physik, der Elektrotechnik, im Maschinenbau usw.
  4. Grundlagen über die diskrete Fouriertransformation (DFT/FFT) als Mathematica-Notebook und als pdf.
    In diesem Notebook werden Beispiele gezeigt, die einige beachtenswerte Grundlagen
    zur DFT und zur diskreten Cosinustransformation in den Varianten DCT I und DCT II vermitteln
    und veranschaulichen sollen. Hierzu gehören der Alias-Effekt, Aussagen zu Störeffekten, zur
    Frequenzlokalisation und zu Zeitfenstern (Gewichtsfunktionen) bei einer DFT.
    Erste Anwendungsbeispiele sind trigonometrische Interpolationen oder Näherungen von
    Fouriertransformierten zeitbegrenzter Signale durch sog. Zero-Padding.
  5. Clenshaw-Curtis-Quadratur als Anwendung der DCT I, hier als Mathematica-Notebook und als pdf.
    In diesem Notebook wird Mathematica benutzt, um mit einer DCT I numerische Integration nach Clenshaw-Curtis zu zeigen.
  6. Ein Beispiel zur Datenkompression mit JPEG als Anwendung der DCT-2D vom Typ II und entstehenden Artefakten,
    und zur Huffman-Codierung der JPEG-DCT-Daten mit Mathematica hier als Mathematica-Notebook und als pdf.
    (Hier zum Download das verwendete Testbild)
    In diesem Notebook wird Mathematica benutzt, um entstehende Artefakte vornehmlich an Bildkanten
    zu erklären. Solche Artefakte entstehen, wenn man Bilder verlustbehaftet mit JPEG komprimiert.
    Eine Huffman-Codierung und Decodierung wird am Beispiel eines 8×8-Blocks von DCT-Daten eines JPEG-Bildes demonstriert.
  7. Einige Grundlagen über Tschebyscheff-Polynome (erster Art), hier als Mathematica-Notebook und hier als pdf.
    Beispiele zur Interpolation und Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen erster Art, Zusammenhang mit der DCT I
    und DCT II, Alias-Effekte bei der Interpolation.